5.4 teoremas del seno y coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

5.3 relaciones trigonnometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define cos²α, sen²α, otros; tales que sen²α es (sen α)².

5.2 teorema de pitagoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

5.1 historia de la trigonometria

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

4.6 triangulo obtusangulo

el triangulo obtosangulo es  aquel que tiene uno se sus angulos ineriores obtuso mayor de 90 , en tanto los restantes dos, son agudos ( menor de 90) es del tipo obicluandolo . dado que ninguno de sus angulos interiores son rectos (90)




es el centro de la circunferencia circunscrita  esta afuera del triangulo .

4.5 triangulo ecuatangulo

Un triángulo acutángulo tiene los tres ángulos agudos
                                                                                                        Un triángulo acutángulo es aquel cuyos ángulos interiores tienen menos de 90 grados (cada uno de ellos).

Un buen ejemplo es el clásico triángulo equilátero, cuyos lados son todos iguales y sus ángulos interiores son de 60 grados. Ojo que esto es sólo un ejemplo, ya que asimismo tienes triángulos acutángulos isósceles (con dos lados de la misma medida) y también escalenos (con todos sus lados diferentes en cuanto a su longitud).

Otro dato de interés que te puede servir, es que un triángulo acutángulo es un tipo de triángulo obtusángulo, clasificación para los triángulos que no tienen ángulos rectos, o sea de 90 grados.

Y claro, no está demás decir que el acutángulo sigue cumpliendo, claro está, con todo lo que sabemos de los ángulos de cualquier triángulo, como: sus ángulos interiores suman 180 grados (útil para determinar un ángulo faltante si sabemos el valor de los otros dos), y por lo mismo la suma de sus ángulos exteriores es de 60 grados. Como dicen los matemáticos más acuciosos, lo anterior es válida para el espacio euclídeos en la

4.4 triangulo rectangulo

En geometria, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un angulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.^[1] Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo es la base detrigonometria. En particular, en un triángulo rectángulo se cumple el teorema de pitagoras

4.3 triangulo escaleno

triangulo escaleno  Un triangulo es escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triangulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida. Características de los triángulos escalenos * Triángulo acutangulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetria. * Triángulo rectangulo escaleno: tiene un angolo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes. * Triángulo obtusangulo escaleno: tiene unangulo obtusoy todos sus lados son diferentes.

4.2 triangulo issoceles

El triangulo isooceles  se sabe si tiene dos lados de la misma longitud , los angulos que se opnes a este lado s tienen la misma , medida  fue descubierto por nuestro felosofo mileto

caracteristicas de los triangulos issoceles

* Triángulo ecutangoloisósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simetrico respetode su a ltura * Triángulorectangulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es sicmetrico respecto a la altura de lahipotenusa, que pasa por el angulo recto

* Triángulo obtansagulo isósceles: tiene un angulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el angulo obtuso; elotro lado esmayor que éstos dos. 




    

4.1 triangulo equilatero

El triangulo equilatero
Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres anguloscongruentes entre sí. Teniendo esto en cuenta, su construcción puede resultar muy sencilla.
Para lograr una congruencia en los lados, es aconsejable trazar el triángulo dentro de una circunferencia (circunscrito), para ello se pueden emplear los siguientes pasos:

• Trazar la circunferencia a
• Abrir un compás en una medida de 120° (los 360° de la circunferencia entre el número de lados del polígono)
• Marcar tres puntos, uno a la misma distancia del otro (guiándose con el compás)
• Unir los puntos

Una alternativa puede ser la siguiente:

• Teniendo dos puntos unidos en línea recta (A y B).
• Trazar una circunferencia con centro en A con radio igual a la distancia entre A y B.
• Trazar una cricunferencia con centro en B con radio igual a la distancia entre A y B.
• Siendo Γ el punto en el que se cortan las dos circunferencias construidas, unir Γ con A y B

1.3 ¿Ques es Geometria ?

La geometria es
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matematica que se ocupa del estudio de las propiedades de lasfiguras ggeometricas en el plano o elespacio, como son: puntos,rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas,perpendiculares, curvas, ssuperficiepoligonos,ppoliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometria descriptiva o del dibujo tecnico. También da fundamento a instrumentos como el compas, el teodolito, el pantografo o el sitema de global (en especial cuando se la considera en combinación con el analisis matematico y sobre todo con las ecuaciones diferenciales
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en fisica aplicada mecanica, arquitectura, cartografia, austronomia nautica, topografia, balistica, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanias.

 

Artículo principal: historia de la geometria

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el antiguoque estaba muy desarrollada, según los textos de herodoto,  y . , en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometria  descrita en
El estudio de la  y la c, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un  desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan  y, que condujo a la creación de la topologia y la geometria diferencial .

1.1 Historia de la Geometria

 Lo que es la geometria es  una rama de la matematica  que se preocupa del estudio se sintesis que sirven para mejoras las parcticas adiario matematicamente con una serie de solucione sy problemas que nos conllegan  hacer mejores  , que dia adia vemos que utilizamos rectas.,,,.,,., puntos,..,.,.,.,.planos

3.3 nombres de algunos poligonos

Uno de los poligonos es el estrella que construyen apartir de trrazar diagonales en poligonos regulares





poligono=pliedro.                                       

pentagono
hexagono
heptagono
octagono u octógono
enaogano o nonagono
decagono
endecagono
dedadegono
tridecagono
tetradecagono
pentadecagono
hexadecagono
heptadecagono

Ppoliedro

politopo

reglas y compas

poligono regular

poligono equilatero

poligono contribuible

poligono extrellado

triangulo d eun poligono

3.2 tipos de poligonos

  Tipos de poligonos


            triangulo  




           cuadrilatero






       pentagono






          hexagono






          heptagono









      octagono









            enesgagono









         decagono

3.1 definicion de poligono

 LA DEFINICION DE POLIGONO ES . polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos no alineados. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polýgonon), de πολύ (polí)"muchos" y γωνία (goná) "ángulo Aunque hoy en día los polígonos usualmente son entendidos por el número de sus lados.
El polígono es caso bidimensional de politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama policoro
Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.
La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. Los matemáticos a menudo les interesa solo la línea poligonal cerrada y los polígonos simples, los cuales no se intersecan por sí mismos, y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180º), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único, sin embargo, matemáticamente, esos vértices podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computacion grafica para la generación de imágenes

2.3 angulo y clases de angulo

 ANGULO Y CLASES DE ANGULO  es un angulo
Un ángulo es la parte del pplano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vertice Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexamigal o el grado centesimalPueden estar definidos sobre superficies planas ttrigonometria plana) o curvas (trigonometria esfericaSe denomina angulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un angulo solido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente de todo lo que se practica.

Ángulo recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º.
 
Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, concretamente 180º.

Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Ángulo plano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una revolución, o sea, 180º.

• master en fisica Estudio Avanzado Interdisciplinario en Física y Matemáticas
  

2.4 recta paralela y perpendicular

 RECTAS  PARALELAS Y PERPENDICULARES .




     

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares.

2.2 mediatriz y biseltriz

LA MEDIATRIZ Y BISELTRIZ SON
La bisectriz de un angulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirectasde un ángulo.

Propiedades

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos ente ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Aplicación en triángulos

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro  del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

LA MEDIATRIZ:
La mediatriz de un segmentoes larecta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geometrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Construcción gráfica de la mediatriz con reglas y compas

 

Las mediatrices de un triángulo se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

ejmplo

En efecto, sea un segmento delimitado por los puntos y (véase la figura 1). Sea el punto medio del segmento y la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea un punto sobre la recta . En la isimetria axial respecto de la recta , el punto es invariante y los puntos y son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento se transforma en el segmento , ambos segmentos son congruentes y el punto equidista de los puntos y . En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

 

Recíprocamente, (véase figura 2) sea un segmento y sea un punto que equidista de y de , esto es, que los segmentos y son iguales. Consideremos la bisectriz del ángulo y sea la intersección de dicha bisectriz con el segmento .
Por construcción, los ángulos y son iguales y en la simetría axial respecto de la recta se transforman uno en el otro. Como los segmentos y son iguales en esta simetría, los puntos y son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto es punto medio del segmento y que dicho segmento es perpendicular a la recta .

 

En todotriangulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuentro(O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. Lacircunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.